\documentclass[handout]{slide}




\renewcommand{\mytitle}{第八章\quad 向量代数与空间解析几何}
\renewcommand{\mysubtitle}{第三节\quad 平面及其方程}

\graphicspath{ {./images/} }
\tikzset{>=latex}
\begin{document}




\section{曲面方程与空间曲线方程的概念}

\begin{frame}{曲面和曲线的方程}

\pause
因为平面与空间直线分别是曲面与空间曲线的特例，所以在讨论平面与空间直线以前， 先引人有关曲面方程与空间曲线方程的概念。

\pause
像在平面解析几何中把平面曲线当作动点的轨迹一样，在空间解析几何中，任何曲面或曲线都看作点的几何轨迹。
\pause
而且，和在平面解析几何中一样，当我们建立了坐标系时我们会试着寻找这样的动点的坐标所满足的代数方程。
\pause
在这样的意义下，如果曲面 $S$ 与三元方程
\[\tag{3-1}
F(x, y, z)=0
\]
有下述关系：
\pause
\begin{enumerate}
  \item 曲面 $S$ 上任一点的坐标都满足方程 (3-1);

  \pause
  \item 不在曲面 $S$ 上的点的坐标都不满足方程 (3-1), 
  \end{enumerate}
\pause
那么， 方程 (3-1) 就叫做\emph{曲面 $S$ 的方程}， 而曲面 $S$ 就叫做\emph{方程 (3-1) 的图形} (图 8-29).

\pause
  \begin{figure}[h]
    \centering
  %\includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_19_d53316b371e4d6addcc7g-10(2)}
\begin{tikzpicture}
  \begin{axis}[
    xlabel={$x$},
    ylabel={$y$},
    zlabel={$z$},
    axis lines=middle,
    ticks=none,
    view={120}{30},
  ]
  \addplot3[
    surf,
    colormap/redyellow,
    shader=interp,
    domain=-1:1,
    domain y=1.5:4,
  ]
  {4-(x^2+2*(y-3)^2)};
  \end{axis}
  \node at (3, 4) {$F(x,y,z)=0$};
\end{tikzpicture}
\caption*{图 8-29}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}
空间曲线可以看作两个曲面 $S_{1}, S_{2}$ 的交线。 
\pause
设
$$
F(x, y, z)=0 \quad \text { 和}\quad G(x, y, z)=0
$$
分别是这两个曲面的方程， 
\pause
它们的交线为 $C$ (图 8-30). \hfill\hfill
\pause
\begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
    \centering
 % \includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_19_d53316b371e4d6addcc7g-10(1)}
\begin{tikzpicture}[scale=0.2]
\onslide<+->{%
% axis
\draw[->] (0.3,-3.5) -- +(0,7) node[yshift=5pt] {$z$};
\draw[->] (0.3,-3.5) -- +(220:4) node[yshift=-5pt,xshift=-5pt] {$x$};
\draw[->] (0.3,-3.5) -- +(12,0) node[xshift=6pt] {$y$};
\node at (0.5,-4.3) {$O$};
}%

\onslide<+->{%
% border of the surface1
\path[draw,color=green,name path=border1] (0,0) to[out=-10,in=150] (6,-2);
% border of the surface1
\path[draw,color=green,name path=border2] (12,1) to[out=150,in=-10] (5.5,3.2);
% border of the surface1
\draw[draw,color=green,thick,name path=line1] (6,-2) -- (12,1);
% border of the surface1
\path[draw,color=green,name path=line2] (5.5,3.7) -- (0,0);
% draw the surface1
\shade[left color=green!10,right color=green!70] 
  (0,0) to[out=-10,in=150] (6,-2) -- 
  (12,1) to[out=150,in=-10] (5.5,3.7) -- cycle;
\node at (10,1) {$S_1$};
}%

\onslide<+->{%
% border of the surface2
\path[draw,color=blue,name path=border3] (-1,-4) to[out=20,in=220] (3,3);
% border of the surface2
\path[draw,color=blue,name path=border4] (6,-7) to[out=40,in=210] (9,1);
% border of the surface2
\path[draw,color=blue,name path=border5] (-1,-4) to[out=0,in=80] (6,-7);
% border of the surface2
\path[draw,color=blue,name path=border6] (3,3) to[out=10,in=140] (9,1);
% draw the surface2
\shade[top color=blue!10,bottom color=blue!90,opacity=.30] 
  (-1,-4) to[out=20,in=220] (3,3)  to[out=10,in=140] (9,1)
 to[out=210,in=40] (6,-7) to[out=80,in=0] (-1,-4);
% label of the surface2
\node at (6,-4.5) {$S_2$};
}%

\onslide<+->{%
% intersection points
\path[name intersections={of=border3 and line2,by={a}}];
\path[name intersections={of=border4 and line1,by={b}}];

% intersection of the surfaces
\draw[thick,color=red] (a) to[out=-10,in=130] node[above] {$C$} (b);
}%
\end{tikzpicture}
\caption*{图 8-30}
\end{wrapfigure}
\onslide<+->{%
因为曲线 $C$ 上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程，所以应满足方程组
\[\tag{3-2}
  \left\{\begin{array}{l}
    F(x, y, z)=0 \\
  G(x, y, z)=0
\end{array}\right.
\]
}%
\onslide<+->{%
反过来， 如果点 $M$ 不在曲线 $C$ 上， 那么它不可能同时在两个曲面上， 所以它的坐标不满足方程组 (3-2). 
}%
\onslide<+->{%
因此， 曲线 $C$ 可以用方程组 (3-2) 来表示。 
}%
\onslide<+->{%
方程组 (3-2) 就叫做\emph{空间曲线 $C$ 的方程}， 而曲线 $C$ 就叫做\emph{方程组 (3-2) 的图形}。
}%

~

\onslide<+->{%
在本节和下一节里， 我们将以向量为工具， 在空间直角坐标系中讨论最简单的曲面和曲线——平面和直线。
}
\end{frame}

\section{平面的点法式方程}

\begin{frame}
如果一非零向量垂直于一平面， 那么这个向量就叫做该\emph{平面的法向量}。 
%这里没有平面的定义
\pause
容易知道，平面上的任一向量均与该平面的法向量垂直。

\pause
因为过空间一点可以作而且只能作一平面垂直于一已知直线， 
\pause
所以当平面 $\Pi$ 上一点 $M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 和它的一个法向量 $\symbf{n}=(A, B, C)$ 为已知时，平面 $\Pi$ 的位置就完全确定了。
\pause
下面我们来建立平面 $\Pi$ 的方程。

\pause
      设 $M(x, y, z)$ 是平面 $\Pi$ 上的任一点 (图 8-31). \hfill\hfill
      \pause
      \begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
        \centering
        \begin{tikzpicture}[scale=.8]
          \onslide<+->{%
    \draw[->] (0,0) node[below] {$O$} -- (3,0) node[below] {$y$};
    \draw[->] (0,0) -- (-1.2,-1.2) node[above=.2] {$x$};
    \draw[->] (0,0) -- (0,3.5) node[left] {$z$};
  }%
\onslide<+->{%
    \shadedraw[thick, draw=magenta!50!yellow, left color=magenta!50, right color=yellow!50] 
    (-1,1.8) node[right=.2] {$\Pi$} -- (1.5,0.8) -- (3,2) -- (.5,3) -- cycle; 
  }%
\onslide<+->{%
  \draw[->,thick,red] (1.7,1.7) -- (2.3,3) node[right] {$\symbf{n}$};
}%
\onslide<+->{%
\coordinate[label=90:$M_0$] (M0) at (0.3,2);
  }%
\onslide<+->{%
\coordinate[label=-90:$M$] (M) at (1.55,1.5);
}%
\onslide<+->{%
  \draw[->,thick,blue] (M0) -- (M); 
  }
\end{tikzpicture}
\caption*{图 8-31}
      \end{wrapfigure}
\onslide<+->{%
  则向量 $\overrightarrow{M_{0} M}$ 必与平面 $\Pi$ 的法向量 $\symbf{n}$ 垂直， 
}%
\onslide<+->{%
      即它们的数量积等于零
    $$
    \symbf{n} \cdot \overrightarrow{M_{0} M}=0.
$$
}%
\onslide<+->{%
  \mbox{因为 $\symbf{n}=(A, B, C), \overrightarrow{M_{0} M}=\left(x-x_{0}, y-y_{0}, z-z_{0}\right)$,
  所以有}
}%
\onslide<+->{%
\[\tag{3-3}
A\left(x-x_{0}\right)+B\left(y-y_{0}\right)+C\left(z-z_{0}\right)=0 .
\]
}%
\onslide<+->{%
这就是平面 $\Pi$ 上任一点 $M$ 的坐标 $x, y, z$ 所满足的方程。
}%

\onslide<+->{%
反过来， 如果 $M(x, y, z)$ 不在平面 $\Pi$ 上， 那么向量 $\overrightarrow{M_{0} M}$ 与法向量 $\symbf{n}$ 不垂直， 
}%
\onslide<+->{%
从而 $\symbf{n} \cdot \overrightarrow{M_{0} M} \neq 0$, 即不在平面 $\Pi$ 上的点 $M$ 的坐标 $x, y, z$ 不满足方程 (3-3).
}%

\onslide<+->{%
由此可知， 平面 $\Pi$ 上的任一点的坐标 $x, y, z$ 都满足方程 (3-3), 不在平面 $\Pi$ 上的
点的坐标都不满足方程 (3-3). 
}%
\onslide<+->{%
这样， 方程 (3-3) 就是平面 $\Pi$ 的方程， 而平面 $\Pi$ 就是方程 (3-3) 的图形。
}%
\onslide<+->{%
因为方程 (3-3) 是由平面 $\Pi$ 上的一点 $M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 及它的一个法向量 $\symbf{n}=(A, B, C)$ 确定的，所以方程 (3-3) 叫做\emph{平面的点法式方程}。
}%
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
  求过点 $(2,-3,0)$ 且以 $n=(1,-2,3)$ 为法向量的平面的方程。
\end{example}
\pause
\begin{solution}
\pause
根据平面的点法式方程 (3-3), 得所求平面的方程为
$$
(x-2)-2(y+3)+3 z=0,
$$
\pause
即
$$
x-2 y+3 z-8=0
$$
\end{solution}

\end{frame}
\begin{frame}
\begin{example}
求过三点 $M_{1}(2,-1,4), M_{2}(-1,3,-2)$ 和 $M_{3}(0,2,3)$ 的平面的方程。
\end{example}

\pause
\begin{solution}
\pause
先找出这平面的一个法向量 $\symbf{n}$. 
\pause
因为向量 $\symbf{n}$ 与向量 $\overrightarrow{M_{1} M_{2}}$ 和 $\overrightarrow{M_{1} M_{3}}$ 都垂直， 
\pause
所以可取$\symbf{n}$为它们的向量积。
\pause
既然 $\overrightarrow{M_{1} M_{2}}=$ $(-3,4,-6), \overrightarrow{M_{1} M_{3}}=(-2,3,-1)$, 
\pause
我们有
$$
\symbf{n}=\overrightarrow{M_{1} M_{2}} \times \overrightarrow{M_{1} M_{3}}=\left|\begin{array}{ccc}
 \symbf{i} & \symbf{j} & \symbf{k} \\
-3 & 4 & -6 \\
-2 & 3 & -1
\end{array}\right|=14 \symbf{i}+9 \symbf{j}-\symbf{k}
$$
\pause
根据平面的点法式方程 (3-3), 得所求平面的方程为
$$
14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=0,
$$
\pause
即
$$
14 x+9 y-z-15=0 .
$$
\end{solution}
\end{frame}

\section{平面的一般方程}

\begin{frame}{平面的一般方程}
\pause
因为平面的点法式方程 (3-3) 是 $x, y$ 和 $z$ 的一次方程， 而任一平面都可以用它上面的一点及它的法向量来确定， 所以任一平面都可以用三元一次方程来表示。

\pause
反过来，设有三元一次方程
\[\tag{3-4}
A x+B y+C z+D=0 .
\]
\pause
我们任取满足该方程的一组数 $x_{0}, y_{0}, z_{0}$, 
\pause
即
\[\tag{3-5}
A x_{0}+B y_{0}+C z_{0}+D=0 .
\]
\pause
把上述两等式相减， 得
\[\tag{3-6}
A\left(x-x_{0}\right)+B\left(y-y_{0}\right)+C\left(z-z_{0}\right)=0 .
\]
\pause
把它和平面的点法式方程 (3-3) 作比较， 可以知道方程 (3-6) 是通过点 $M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 且以 $\symbf{n}=(A, B, C)$ 为法向量的平面方程。 
\pause
方程 (3-4) 与方程 (3-6) 同解， 
\pause
这是因为由 (3-4) 减去 (3-5) 即得 (3-6), 又由 (3-6) 加上 (3-5) 就得 (3-4). 
\pause
由此可知， 任一三元一次方程 (3-4) 的图形总是一个平面。 
\pause
方程 (3-4) 称为\emph{平面的一般方程}， 
\pause
其中 $x, y, z$ 的系数就是该平面的一个法向量 $\symbf{n}$ 的坐标， 
\pause
即 $\symbf{n}=(A, B, C)$.

\pause
例如， 方程
$$
3 x-4 y+z-9=0
$$
表示一个平面，
\pause
$\symbf{n}=(3,-4,1)$ 是这平面的一个法向量。
\end{frame}

\begin{frame}
对于一些特殊的三元一次方程， 应该熟悉它们的图形的特点。

~

\pause
当 $D=0$ 时，方程 (3-4) 成为 $A x+B y+C z=0$, 
\pause
它表示一个通过原点的平面。

\pause
当 $A=0$ 时， 方程 (3-4) 成为 $B y+C z+D=0$, 
\pause
法向量 $\symbf{n}=(0, B, C)$ 垂直于 $x$ 轴， 
\pause
方程表示一个平行于 (或包含) $x$ 轴的平面。

\pause
同样， 方程 $A x+C z+D=0$ 和 $A x+B y+D=0$ 分别表示一个平行于 (或包含) $y$ 轴和 $z$ 轴的平面。

~

\pause
当 $A=B=0$ 时， 方程 (3-4) 成为 $C z+D=0$ 或 $z=-\frac{D}{C}$, 
\pause
法向量 $\symbf{n}=(0,0, C)$ 同时垂直于 $x$ 轴和 $y$ 轴， 
\pause
方程表示一个平行于 (或重合于) $x O y$ 面的平面。

\pause
同样， 方程 $A x+D=0$ 和 $B y+D=0$ 分别表示一个平行于 (或重合于) $y O z$ 面和 $z O x$ 面的平面。
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
  求通过 $x$ 轴和点 $(4,-3,-1)$ 的平面的方程。
\end{example}
\pause
\begin{solution}
\pause
设所求平面的方程为
    $$
  A x+B y+C z+D=0 .
$$
\pause
由于平面通过 $x$ 轴， 从而它的法向量垂直于 $x$ 轴， 
\pause
于是法向量在 $x$ 轴上的投影为零， 
\pause
即 $A=0$; 
\pause
又由平面通过 $x$ 轴， 它必通过原点， 
\pause
于是 $D=0$. 
\pause
因此这平面的方程为
$$
B y+C z=0 .
$$
\pause
又因这平面通过点 $(4,-3,-1)$, 所以有
$$
-3 B-C=0 \quad\text { 或 }\quad C=-3 B \text {. }
$$
\pause
以此代人所设方程并除以 $B$ (显然$B \neq 0$), 便得所求的平面方程为
$$
y-3 z=0 \text {. }
$$
\end{solution}

\end{frame}

\begin{frame}
  \small
  \begin{example}
  设一平面与 $x$ 轴、 $y$ 轴和 $z$ 轴的交点依次为 $P(a, 0,0), Q(0, b, 0), R(0,0, c)$三点 (图 8-32), 求这平面的方程 (其中 $a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0$).
\end{example}
\pause
\begin{solution}
\pause
\begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
            \centering
            \includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_19_d53316b371e4d6addcc7g-12}
        \caption*{图 8-32}
        \end{wrapfigure}

\pause
      设所求平面的方程为
    $$
  A x+B y+C z+D=0 .
$$
\pause
因为 $P(a, 0,0), Q(0, b, 0)$ 和 $R(0,0, c)$ 三点都在这平面上， 所以点 $P, Q$ 和 $R$ 的坐标都满足此方程，
\pause
即有
$$
\left\{\begin{array}{l}
    a A+D=0, \\
  b B+D=0, \\
c C+D=0,
\end{array}\right.
$$
\pause
解得
$$
A=-\frac{D}{a}, \quad B=-\frac{D}{b}, \quad C=-\frac{D}{c} .
$$
\pause
以此代人 (3-4) 并除以 $D$ ($D \neq 0$), 便得所求的平面方程为
\[\tag{3-7}
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 .
\]
\pause
  方程 (3-7) 叫做\mbox{\emph{平面的截距式方程}，} 
\pause
  而 $a, b$ 和 $c$ 依次叫做平面在 $x$ 轴、 $y$ 轴和 $z$ 轴上的\emph{截距}。
\end{solution}
\end{frame}

\section{两平面的夹角}

\begin{frame}{两平面的夹角}
\pause
两平面的法向量的夹角 (通常指锐角或直角) 称为\emph{两平面的夹角}。

~

\pause
设平面 $\Pi_{1}$ 和 $\Pi_{2}$ 的法向量依次为 $\symbf{n}_{1}=\left(A_{1}, B_{1}, C_{1}\right)$ 和 $\symbf{n}_{2}=\left(A_{2}, B_{2}, C_{2}\right)$, 
\pause
\begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
  \centering
%\includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_19_d53316b371e4d6addcc7g-13}
\begin{tikzpicture}
  \onslide<+->{%
    \shade[thick,left color=green!20,right color=green!70,opacity=.8]  
    (0,0) -- (3,0) node[above left] {$\Pi_1$} -- (2.5,1.2) -- (-.5,1.2) -- cycle;
}%
\onslide<+->{%
    \shade[left color=blue!70,right color=blue!20,opacity=.80] 
    (1.2,0) coordinate (p) -- (2.5,1.5) coordinate (q) node[left] {$\Pi_2$} -- (2,2.7) -- ((0.7,1.2) coordinate (r) -- cycle;
}%
\onslide<+->{%
    \path [name path=border1] (p) -- (q);
    \coordinate (a) at (.3,2);
    \coordinate (b) at (.95,.6);
    \coordinate (c) at (1.73,1.5);
    \coordinate (e) at (.3,.6);
    \coordinate (f) at (2.2,.6);
    \coordinate (d) at ($.5*(b)+.5*(c)$);
    \coordinate (g) at ($1.6*(a)-0.6*(e)$);
    \coordinate (h) at ($1.6*(a)-0.6*(d)$);
    \draw[->,thick,magenta] (d) -- (h) node[above] {$\symbf{n}_2$};
    \draw[->,thick,magenta] (e) -- (g) node[above] {$\symbf{n}_1$};
    \pic [angle radius=3mm, "$\theta$", angle eccentricity=1.5] {angle=g--a--h};    
    \path (h) -- (a) -- (0,2) coordinate (x)
    pic [<-, draw=blue, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.5] {angle=h--a--x};  
    \path (.8,2.5) coordinate (y) -- (a) -- (g)
    pic [->, draw=blue, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.5] {angle=y--a--g};
}%
\onslide<+->{%
    \path [name path=l1] (e) -- (f);
    \draw [dashed,magenta,name intersections={of=border1 and l1, by=i}] (b) -- (i);
    \draw [magenta] (e) -- (b) (i) -- (f);
    \draw [magenta] (b) -- (c);
    \pic [draw, angle radius=1.5mm] {right angle=r--b--d};
    \pic [draw, angle radius=1.5mm] {right angle=e--b--p};
}%
\onslide<+->{%
    \pic [draw=blue,angle radius=4mm, "$\theta$", angle eccentricity=1.5] {angle=f--b--c};
  }%
\end{tikzpicture}
\caption*{图 8-33}
\end{wrapfigure}
\onslide<+->{%
则平面 $\Pi_{1}$ 和 $\Pi_{2}$ 的夹角 $\theta$ (图 8-33) 要求满足 $\theta\in [0,\frac{\pi}{2}]$, 
}%
\onslide<+->{%
应是 $\left(\widehat{\symbf{n}_{1}, \symbf{n}_{2}}\right)$ 和 $\left(\widehat{-\symbf{n}_{1}, \symbf{n}_{2}}\right)=\pi-\left(\widehat{\symbf{n}_{1}, \symbf{n}_{2}}\right)$ 两者中的锐角或直角， 
}%
\onslide<+->{%
因此， $\cos \theta=\left|\cos \left(\widehat{\symbf{n}_{1}, \symbf{n}_{2}}\right)\right|$. 
}%
\onslide<+->{%
按两向量夹角余弦的坐标表示式，平面 $\Pi_{1}$ 和平面 $\Pi_{2}$ 的夹角 $\theta$ 可由
\[\tag{3-8}
\cos \theta=\frac{\left|A_{1} A_{2}+B_{1} B_{2}+C_{1} C_{2}\right|}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}} \sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}}
\]
来确定。
}%

~

\onslide<+->{%
从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论：
}%

\onslide<+->{%
  \mbox{两平面 $\Pi_{1}$ 和 $\Pi_{2}$ 互相垂直相当于 $A_{1} A_{2}+B_{1} B_{2}+C_{1} C_{2}=0$;}
}%

\onslide<+->{%
  \mbox{两平面 $\Pi_{1}$ 和 $\Pi_{2}$ 互相平行或重合相当于 $\frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{B_{1}}{B_{2}}=\frac{C_{1}}{C_{2}}$.}
}%
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
  求两平面 $x-y+2 z-6=0$ 和 $2 x+y+z-5=0$ 的夹角。
\end{example}
\pause
\begin{solution}
\pause
由公式 (3-8) 有
$$
\cos \theta=\frac{|1 \times 2+(-1) \times 1+2 \times 1|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+2^{2}} \sqrt{2^{2}+1^{2}+1^{2}}}=\frac{1}{2}
$$
\pause
因此，所求夹角 $\theta=\frac{\pi}{3}$.
\end{solution}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
  一平面通过两点 $M_{1}(1,1,1)$ 和 $M_{2}(0,1,-1)$ 且垂直于平面 $x+y+z=0$, 求它的方程。
\end{example}
\pause
\begin{solution}
\pause
设所求平面的一个法向量为
$$
\symbf{n}=(A, B, C) .
$$
\pause
因 $\overrightarrow{M_{1} M_{2}}=(-1,0,-2)$ 在所求平面上， 它必与 $\symbf{n}$ 垂直， 
\pause
所以有
\[\tag{3-9}
-A-2 C=0 .
\]
\pause
又因所求的平面垂直于已知平面 $x+y+z=0$, 所以又有
\[\tag{3-10}
A+B+C=0 .
\]
\pause
由式(3-9)、式(3-10) 得到
$
A=-2 C, B=C .
$
\pause
由平面的点法式方程可知， 所求平面方程为
$$
A(x-1)+B(y-1)+C(z-1)=0 .
$$
\pause
将 $A=-2 C$ 及 $B=C$ 代人上式， 并约去 $C$ ($C \neq 0$), 便得
$$
-2(x-1)+(y-1)+(z-1)=0,
$$
\pause
即
$
2 x-y-z=0 .
$
这就是所求的平面方程。
\end{solution}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
  设 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 是平面 $A x+B y+C z+D=0$ 外一点，求 $P_{0}$ 到这平面的距离 (图 8-34).
\end{example}
\pause
\begin{solution}
  \begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
      \centering
      \includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_19_d53316b371e4d6addcc7g-14}
    \caption*{图 8-34}
\end{wrapfigure}
\pause
在平面上任取一点 $P_{1}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$, 并作一法向量 $\symbf{n}$, 由图 8-34, 
\pause
并考虑到 $\overrightarrow{P_{1} P_{0}}$ 与 $\symbf{n}$ 的夹角 $\theta$ 也可能是钝角，得所求的距离
$$
d=\left|\overrightarrow{P_{1} P_{0}}\right||\cos \theta|=\frac{\left|\overrightarrow{P_{1} P_{0}} \cdot \symbf{n}\right|}{|\symbf{n}|}
$$
\pause
而
$$
\symbf{n}=(A, B, C), \quad \overrightarrow{P_{1} P_{0}}=\left(x_{0}-x_{1}, y_{0}-y_{1}, z_{0}-z_{1}\right),
$$
\pause
得
\begin{align*}
  \frac{\overrightarrow{P_{1} P_{0}} \cdot \symbf{n}}{|\symbf{n}|}&= \frac{A\left(x_{0}-x_{1}\right)+B\left(y_{0}-y_{1}\right)+C\left(z_{0}-z_{1}\right)}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}\\
  &= \frac{A x_{0}+B y_{0}+C z_{0}-\left(A x_{1}+B y_{1}+C z_{1}\right)}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}
\end{align*}

\end{solution}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{solution}[续]
\pause
因为 $A x_{1}+B y_{1}+C z_{1}+D=0$, 所以
$$
\frac{\overrightarrow{P_{1} P_{0}} \cdot \symbf{n}}{|\symbf{n}|}=\frac{A x_{0}+B y_{0}+C z_{0}+D}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}
$$
\pause
由此得点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 到平面 $A x+B y+C z+D=0$ 的距离公式
\[\tag{3-11}
d=\frac{\left|A x_{0}+B y_{0}+C z_{0}+D\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}} \text {. }
\]
\pause

~

 例如，   求点 $(2,1,1)$ 到平面 $x+y-z+1=0$ 的距离， 可利用公式 (3-11),
\pause
 便得
$$
d=\frac{|1 \times 2+1 \times 1-1 \times 1+1|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3} \text {. }
$$
  \end{solution}
\end{frame}

\end{document}
